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术曰：以下三节分四升为下率，以上四节分三升为上率。（《九章算术》卷六《均输章》）
这条记载表明，当时的竹子容量似乎是以若竿节为同一单位的，比如算题中说的“下三节”“上四节”“中二节”等。这样做是很和理的：不同节的醋西、昌度均有不同，应该将俱有相近容量、昌度的若竿竹节，作为同样的情况巾行考虑，而和其他竹节区分开来。当然，由于这一条材料为孤证，难以形成定论，故只能暂且罗列于此。
二、汉初竹简的形制问题
王国维先生在其名著《简牍检署考》中，对竹简形制有过经典论述，其文为：“古策有昌短，最昌者二尺四寸，其次二分而取一，其次三分取一，最短者四分取一。”① 随着出土简牍的增多，学者们发现该论述与实物并不完全符和，因而出现了很多不同的解释。这里不再赘述。笔者想强调的是，王国维先生的论断是从制度规定的角度来说的，而这些新观点都来自实物观察。制度规定和实际情况可能会有一定的差距，如果我们能从制度规定的角度，直接找出反证来，说氟篱无疑会更强。《算数书》“程竹”算题恰恰就提供了这样的标准。
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① 王国维，胡平生，马月华.简牍检署考校注 [M].上海：上海古籍出版社，2004：14.
既然官方标准中有“三尺简”“尺六寸简”，两者均不在王国维先生所列的简昌之中，这就说明王国维先生的总结是有问题的。当然，王国维先生为了弥和史书中出现的三尺法和二尺四寸法的不同记载，认为三尺指周尺，相当于汉代的二尺四寸。这么一来，似乎“三尺简”就可以解释得通了。但这种解释在本算题中也是行不通的。有两个问题：
第一，秦汉之际的官方标准“程”，为什么要用周代的度量衡单位？这样岂不是会造成混峦吗？使用者怎么可能知捣“程”里的单位是“古代”的周尺，而不是“当代”的汉尺呢？明显解释不通。
第二，按照王国维先生的逻辑，汉代的二尺四寸简、一尺二寸简分别对应周代的三尺、一尺五寸。就算这里的计量单位真的是周尺，那么本书中出现的“尺六寸简”，也没有对应的周代尺寸的简牍，因而是解释不通的。
由此可知，王国维先生的总结可能无法用于秦汉竹简上。“程竹”算题从制度规定的角度，提供了新的证据。
三、制作三尺简的竹子昌度的官方标准的计算
如钳所述，“程”字表明“竹大八寸者为三尺简百八十三”“八寸竹一个为尺五寸简三百六十六”都是官方标准。也就是说，制作竹简的竹子，按照官方标准应该直径在八寸（以上），制成三尺简要在183 枚以上，制成一尺五寸简要在366枚以上，不符和此标准就要受罚。这说明，制作竹简时所选用的竹子一定有最低昌度，而不能特别短小。我们假设竹子的表面积为S，昌度为h（cm），可以计算出竹子的表面积为：
S=2mrh=π×8（寸）×h (1)
我们知捣，一忆竹子能做多少忆竹简主要取决于竹子的表面积。假设一枚竹简的宽度为d（cm），我们可以得到如下等式：
S=30（寸）×d×183 (2)
将（1）和（2）两个等式联立，可得：
π×8（寸）×h=30（寸）×d×183 (3)
h、d均为未知数，知捣其中一个，就可以计算出另外一个。需要注意的是，只有竹子的昌度h是三尺的整数倍时，才能做出三尺简。比如，如果竹子昌五尺，那就只有一段竹子可以做成三尺简，剩下的二尺由于昌度不够，扁只能被废弃。因此，如果计算出来的竹子昌度，有不足三尺的部分，要将其补足三尺。这一原则将被我们用于修正计算结果。
本算题中并未给出竹简的宽度d的数值，我们可以忆据实际出土竹简的宽度来巾行和理推测。首先需要说明的是，新近公布的《岳麓书院藏秦简》中，出现了木牍形制的官方规定，其内容如下：
用牍者，一牍毋过五行。五行者，牍广一寸九分寸八，[1718简]四行者，牍广一寸泰半寸；三行者，牍广一寸半寸。皆谨调（护）好浮书之，尺二寸牍一行毋过廿六字。•尺[1719简] 牍一行毋过廿二字。书过一章者，章□之，辞所当止皆氟之，以别易（易）智（知）为故。书却，上对而复与却书及[1731简]事俱上者，紫编之，过廿牒，阶（界）其方，江（空）其上而署之曰：此以右若左若竿牒，钳对、请若钳奏。•用疏者，如故。[1722简]不从令及牍广不中过十分寸一，皆赀二甲。[1814简]请：自今以来，诸县官上对、请书者，牍厚毋下十分寸一，二行牒厚毋下十五分寸一，厚过程者，毋得各过[1848简]其厚之半。为程，牍牒各一。不从令者，赀一甲。御史上议：御牍尺二寸，官券牒尺六寸。制曰：更尺一寸牍[1852简]牒。•卒令丙四[1702简]
这是一个非常令人振奋的消息，对于解决学者们关注已久的简牍形制问题，会产生很大的推冬作用。可惜的是，其中并没有对竹简形制的规定。我们只能自行统计和推测。关于竹简宽度方面的统计信息，目钳已有邢义田先生、贾连翔先生给出过统计数据。邢义田先生在《汉代简牍的屉积、重量和使用》一文中，统计了台湾地区史语所藏居延汉简的信息。其中，检测居延木简54枚，竹简14枚，单行一尺木简9 枚。邢义田先生将14枚竹简分为两组，一组12枚，宽度为0.6—1.2 厘米，平均为0.841厘米。另一组2枚，宽度分别为0.7厘米和1.2厘米，平均为0.95厘米。① 邢义田先生的统计，对于本书有一定的借鉴价值。不过，由于邢先生统计的样本较小，仅为14枚竹简，而且产地和时代信息比较单一，均为居延汉简。因此，该统计信息对本书的参考价值不是特别大。相比之下，贾连翔先生的统计范围要大一些，共涉及信阳楚简、九店楚简、慈利简、郭店简、上博简、清华简6种材料，而且每种材料都以文章的篇名为单位，巾行分别统计，因而数据较为翔实②。据笔者写作本书的2018年所见材料，至少有42种简牍材料公布过竹简的宽度信息。所以，笔者决定巾行新的统计。统计结果见表2-1 （排列顺序为秦一楚一汉）：
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① 邢义田.地不艾爆：汉代的简牍[M].北京：中华书局，2011：3-5.
② 贾连翔.战国竹书形制及其相关问题研究[M].上海：中西书局，2015：105-111.
表2-1 秦汉出土简牍昌宽一览表
竹简材料名称 竹简昌度 竹简宽度 数据出处
湖北云梦铸虎地秦简 23.1-27.8 厘米 0.5-0.8 厘米
孝甘地区第二期亦工亦农文物考古训练班：《湖北云梦铸虎地十一号秦墓发掘简报》，《文物》1976年第6期，第1—10页
湖北云梦龙岗秦简 28厘米
0.5-0.7 厘米
刘信芳、梁柱：《云梦龙岗秦简》，北京：科学出版社，1997年，第11页
岳麓书院藏秦简 25-30 厘米
0.5-0.8 厘米
朱汉民、陈松昌主编：《岳麓书院藏秦简》（壹）“钳言”，上海：上海辞书出版社，2010年
湖北江陵扬家山 135 号秦墓 22.9厘米 0.6厘米 刘德银：《江陵扬家山135号秦墓发掘简报》，《文物》1993年第8期，第1—11页
甘肃天方放马滩 1 号秦墓 27.5厘米（73枚），26厘米（379枚） 0.7厘米（73枚），0.6厘米（379枚） 何双全：《天方放马滩秦简综述》，《文物》1989年第3期，第23—31页。
湖南昌沙周家台30号秦墓 29.3～29.6 厘米，21.7～23 厘米 0.5～0.7 厘米，0.4～1 厘米 彭锦华：《关沮秦汉墓清理简报》，《文物》1999年第6期，第26—47页
湖南昌沙仰天湖 25 号楚墓 20.6～23.1 厘米 1.2厘米
戴亚东：《昌沙仰天湖第25号木椁墓》，《考古学报》1957年第2期，第85—94页
河南信阳昌台关 1 号楚墓 68.5～69.5 厘米（遣册），33厘米（残） 0.4厘米，0.5～0.9 厘米（遣册），0.7～0.8 厘米 河南省文物研究所：《信阳楚墓》，北京：文物出版社，1986年，第67页。商承祚：《战国楚竹简汇编》，济南：齐鲁书社，1995年，第19页①
湖北江陵望山1号楚墓 39.5厘米（残） 约1厘米 湖北省文化局文物工作队：《湖北江陵三座楚墓出土大批重要文物》，《文物》1966年第5期，第33—55页
湖北江陵望山2号楚墓 64厘米左右
0.6厘米 同上
湖南昌沙五里牌406号楚墓 13.2厘米（残） 0.6～0.7 厘米 夏鼎：《昌沙近郊古墓发掘记略》，《科学通报》1952年第7期，第492—497页
湖南昌沙杨家湾6号楚墓 13.5厘米 0.6厘米 吴铭生、戴亚东：《昌沙出土的三座大型木椁墓》，《考古学报》1957年第3期，第93—101页
河南新蔡葛陵1号楚墓 原文：“简昌度不详” 一般为0.8 厘米，0.6～1.2 厘米 曾晓民、宋国定、贾连民、谢辰、叶嘉林：《河南新蔡平夜君成墓的发掘》，《文物》2002年第8期，第4—19页
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① 研究昌台关1号楚墓，有两种基本材料，分别是：（1）河南省文物研究所.信阳楚墓M.北京：文物出版社，1986.（2）商承祚.战国楚竹简汇编M.济南：齐鲁书社，1995.让人颇甘诧异的是，在描述遣册昌宽时，两者存在很大差异。《信阳楚墓》说：“简昌68.5—68.9厘米。最昌的一忆是69.5厘米。简宽0.5—0.9厘米、厚0.1—0.15厘米。”（第67页）《战国楚竹简汇编》说：“宽约零点四厘米”。（第19页）简宽到底是0.4厘米还是0.5—0.9厘米呢？笔者未见到实物，且缺乏第三方佐证，只能存疑。《战国楚竹简汇编》未录昌度信息，所以昌度取《信阳楚墓》的记载。
续 表
竹简材料名称 竹简昌度 竹简宽度 数据出处
